Решение уравнений

Решение уравнений

Мы должны отметить здесь, что условия, в которых находятся различные части ледника, его начало и конец, могут быть неодинаковыми. В сочетании со сложностью решения дифференциального уравнения второго порядка (6) это может вызвать существенные затруднения, чего можно избежать при работе с более простыми дифференциальными уравнениями первого порядка (4) и (5). Поэтому в некоторых случаях предпочтительнее придерживаться последних. Особенно удобно решать проблему при помощи уравнений (4) и (5) для тех случаях, когда известно.

В тех случаях, когда рассеяние играет значительную роль. Для решения этой в достаточной степени сложной проблемы упрощения практически невозможны, хотя некоторые основные особенности, которые предполагалось определить при вычислениях, могут быть выведены и без детального рассмотрения рассеяния (6). Например, легко показать, что если в нижних участках ледника произойдут изменения, которые вызовут отклонения от устойчивого положения, то в течение определенного времени они будут находиться в нестабильном состоянии, т. е. первоначальное возмущение (нарушение) как бы увеличивается само по себе. Аналогично этому легко рассчитать, что конечное продвижение ледника будет соответствовать внезапному ухудшению климатических условий. С другой стороны, если, мы хотим знать, каким будет в конечном, счете продольный профиль ледника в результате воздействия на него колебаний климата, окажется, что рассеяние обязательно должно быть принято во внимание. В основном это относится к тем случаям, когда результаты должны быть получены в количественном выражении. В этих случаях пренебрегать рассеянием нельзя. Таким образом,, казалось бы, в этих случаях невозможно найти другой путь, кроме решения уравнения рассеяния (распространения). В принципе это не столь уж сложно. Существуют стандартные числовые методы для таких операций, из которых наиболее удобным, вероятно, следует признать метод, однако он требует использования разного рода автоматических вычислений.

Существует более простой путь получения удовлетворительных числовых результатов, полностью учитывающих рассеяние. Как уже было сказано, основной проблемой при определении соотношения ледниковых изменений и климата является определение для нижнего края ледника при известном. Предположим, однако, что мы решаем обратную проблему: по известным периодам наступления и возвращения ледника требуется определить изменение климата; иначе говоря, по известному для нижней части ледника определим. Помимо всего прочего, это самостоятельная проблема, которую нам желательно было бы решить. Математически мы хотим определить изменение исходных данных в уравнении рассеяния, вызванное изменениями в конечной части ледника. Методика определения сводится к следующему.

Допустим, нам полностью известно поведение для конечной части ледника в течение некоторого определенного периода времени t0. Резонно предположить, что этой информации будет достаточно для определения ах за данный период времени. Но по теореме Тейлора функция на протяжении данного периода времени задается величиной за время t0 и ее производными по времени, т. е. Отсюда, несмотря на то что в целом теория сводится к линейным уравнениям, в порядке эксперимента мы запишем

Взяты за одно и тоже время t0. Это уравнение рассматривает для оконечной части ледника, однако можно записать аналогичное уравнение и для любого другого выбранного значения х. Таким образом, все X являются в действительности функциями, но если мы рассматриваем именно конечную часть ледника, то их можно считать постоянными). Исследование этого уравнения в связи с первоначальными дифференциальными уравнениями (4) и (5) показывает, что оно вытекает из них и что значения К определяются функциями. Кроме того, здесь дается количественный прием для расчета X; он включает в себя решение нескольких дифференциальных уравнений первого порядка — относительно каждого из значений X, которое может быть произведено обычными методами на настольной счетной машине. После того как получены значения X, с помощью уравнения (8) можно по известным данным истории динамики ледника hx(t) определить параметр, характеризующий климатические изменения.

Здесь нам следовало бы оговориться, что решение, полученное с помощью уравнения (8), достигается более сложным путем, нежели способ, предложенный выше. Действительно, первый способ возник при рассмотрении специальной модели, в которой функции имели аналитические формы, подогнанные для решения проблемы. Для такой модели легко найти точное аналитическое решение основных уравнений; иначе говоря, в этом случае уравнение рассеяния может быть решено точно, а такое решение и приводит к облегчению задачи. Отметить это особенно важно, поскольку точное решение форму решений для основного случая, дает чрезвычайно полезные сведения о вероятных интервалах времени, а также помогает правильно выбрать граничные условия.

Для специальной модели значения X легко рассчитать, используя следующие выражения:

Здесь возникают определенные трудности в сходимости этих рядов, и мы не будем продолжать выражение. Необходимо отметить, что исключение производных высшего порядка существенно упрощает дело, и ряды начинают сходиться. Рассчитанная таким образом функция также оказывается значительно упрощенной, поэтому данные, полученные этим методом, не учитывают некоторые мелкие детали. Тогда весьма важен вопрос о степени допустимости упрощений; обнаружилось, что в случае, когда в качестве исходных численных данных взяты величины с интервалами времени а (около 10 лет), ряды будут нормально сходиться, и для практических целей вполне достаточно двух или трех членов уравнения.

Читайте так же:

Комментарии запрещены.